期權(quán)的平價(jià)公式(PUT-CALL PARITY)以及無風(fēng)險(xiǎn)套利
發(fā)布時(shí)間:2020-09-22 16:11:19
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歐式期權(quán)PCP平價(jià)公式(假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)不付紅利)
首先定義如下符號(hào)以方便描述:S為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià);X為期權(quán)行權(quán)價(jià)格;T為期權(quán)的到期時(shí)間;t為當(dāng)前時(shí)間;r為無風(fēng)險(xiǎn)利率(連續(xù)復(fù)利);C為看漲期權(quán)的價(jià)值;P為看跌期權(quán)的價(jià)值。
組合1: 看漲期權(quán)C+現(xiàn)金(行權(quán)價(jià)格的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值)
組合2: 看跌期權(quán)P+標(biāo)的資產(chǎn)
在T時(shí)刻,組合A的價(jià)值:若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值S-X加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即S-X +X=S;若在T時(shí)刻股票價(jià)格S<X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值0 加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即0+X=X。
在T時(shí)刻,組合B的價(jià)值:若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值0 加上股票價(jià)值S,即0+S = S。若在T時(shí)刻股票價(jià)格S<X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值X-S加上股票價(jià)值S,即X-S+S=X。
A、B兩個(gè)組合價(jià)值
綜上所述,在到期日T時(shí)刻,無論股票價(jià)格如何變動(dòng),組合A的價(jià)值總是等于組合B的價(jià)值。由此可得,組合A與組合B在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值也應(yīng)該相同,否則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。因此,具有同樣行權(quán)價(jià)格和到期日的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)當(dāng)前理論價(jià)格滿足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價(jià)格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當(dāng)期權(quán)的交易價(jià)格明顯偏離其理論定價(jià)時(shí),就出現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。下面主要從期權(quán)價(jià)格的上下限方面來討論錯(cuò)誤定價(jià)帶來的無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。
看漲期權(quán)的持有者有權(quán)以某一確定的價(jià)格購買約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。在任何情況下,期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值。因此,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)的價(jià)格上限:C≤S 。如果實(shí)際情況違反了這一關(guān)系,則套利者通過購買標(biāo)的資產(chǎn)并賣出看漲期權(quán),可獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。
看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價(jià)格出售約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。無論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變得多么低,期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過X。因此,行權(quán)時(shí)看跌期權(quán)的價(jià)格上限:P≤X。
對(duì)于歐式看跌期權(quán),由于T時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過X,因此可以將其價(jià)格上限進(jìn)一步確定為:P≤Xe-rt,即歐式看跌期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過其行權(quán)價(jià)格X的現(xiàn)值。如果不存在這一關(guān)系,則套利者可以出售期權(quán)并將所有收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資,獲取無風(fēng)險(xiǎn)套利。
首先定義如下符號(hào)以方便描述:S為標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià);X為期權(quán)行權(quán)價(jià)格;T為期權(quán)的到期時(shí)間;t為當(dāng)前時(shí)間;r為無風(fēng)險(xiǎn)利率(連續(xù)復(fù)利);C為看漲期權(quán)的價(jià)值;P為看跌期權(quán)的價(jià)值。
組合1: 看漲期權(quán)C+現(xiàn)金(行權(quán)價(jià)格的無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)值)
組合2: 看跌期權(quán)P+標(biāo)的資產(chǎn)
在T時(shí)刻,組合A的價(jià)值:若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值S-X加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即S-X +X=S;若在T時(shí)刻股票價(jià)格S<X,則在T時(shí)刻組合A的價(jià)值為看漲期權(quán)的價(jià)值0 加上現(xiàn)金資產(chǎn)X,即0+X=X。
在T時(shí)刻,組合B的價(jià)值:若在T時(shí)刻股票價(jià)格S≥X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值0 加上股票價(jià)值S,即0+S = S。若在T時(shí)刻股票價(jià)格S<X,則在T時(shí)刻組合B的價(jià)值為看跌期權(quán)的價(jià)值X-S加上股票價(jià)值S,即X-S+S=X。
A、B兩個(gè)組合價(jià)值
S≥X S<X
組合A Call在T時(shí)刻的價(jià)值 S-X 0
現(xiàn)金在T時(shí)刻的價(jià)值 X X
組合A在T時(shí)刻總價(jià)值 S X
組合B Put在T時(shí)刻的價(jià)值 0 X-S
股票在T時(shí)刻的價(jià)值 S S
組合B在T時(shí)刻總價(jià)值 S X
綜上所述,在到期日T時(shí)刻,無論股票價(jià)格如何變動(dòng),組合A的價(jià)值總是等于組合B的價(jià)值。由此可得,組合A與組合B在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值也應(yīng)該相同,否則存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。因此,具有同樣行權(quán)價(jià)格和到期日的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)當(dāng)前理論價(jià)格滿足以下的關(guān)系。
C+Ke^(-rT)=P+S
套利是指利用兩種或更多產(chǎn)品價(jià)格之間的不合理關(guān)系而獲取確定性盈利的交易方式。當(dāng)期權(quán)的交易價(jià)格明顯偏離其理論定價(jià)時(shí),就出現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。下面主要從期權(quán)價(jià)格的上下限方面來討論錯(cuò)誤定價(jià)帶來的無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。
看漲期權(quán)的持有者有權(quán)以某一確定的價(jià)格購買約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。在任何情況下,期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)值。因此,標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格就是看漲期權(quán)的價(jià)格上限:C≤S 。如果實(shí)際情況違反了這一關(guān)系,則套利者通過購買標(biāo)的資產(chǎn)并賣出看漲期權(quán),可獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。
看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以X的價(jià)格出售約定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)。無論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變得多么低,期權(quán)的價(jià)值都不會(huì)超過X。因此,行權(quán)時(shí)看跌期權(quán)的價(jià)格上限:P≤X。
對(duì)于歐式看跌期權(quán),由于T時(shí)刻期權(quán)的價(jià)值不會(huì)超過X,因此可以將其價(jià)格上限進(jìn)一步確定為:P≤Xe-rt,即歐式看跌期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過其行權(quán)價(jià)格X的現(xiàn)值。如果不存在這一關(guān)系,則套利者可以出售期權(quán)并將所有收入以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資,獲取無風(fēng)險(xiǎn)套利。